心理統計法-ノンパラメトリック検定(2)

目次

1 はじめに

ここでは、対応のない \(k\) 水準間の比較について事例を使って記す。
 
\(k\) > \(2\) 個の独立した群について、その代表値を比較する方法が Kruskal-Wallis のH 検定 である。
 
H 検定は U 検定と同様に観測値の順位和を使って、水準間の代表値の違いについて有意性検定を行う。

2 事例

以下の表1に示したデータを用いて H 検定を行ってみる。

2.1 データ表示

 
表1 データ表示

\(A群\) 2 4 6 5 7
\(B群\) 1 3 2 4 6
\(C群\) 5 7 8 3 9

2.2 観測値をを一つの表にまとめる

表2 観測値を一つにまとめる

観測値 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9
順位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
平均順位 1 2.5 2.5 4.5 4.5 6.5 6.5 8.5 8.5 10.5 10.5 12.5 12.5 14 15

2.3 3水準に表を分割する

表3 順位を3水準に分ける

\(A群\) 2.5 6.5 10.5 8.5 12.5
\(B群\) 1 4.5 2.5 6.5 10.5
\(C群\) 8.5 12.5 14 4.5 15

2.4 帰無仮説

\(H0\) = \(k 個の水準間で代表値に差はない\)

2.5 順位和を計算する

順位和:\(Ra\) = \(40.5\), \(Rb\) = \(25\), \(Rc\) = \(54.5\)
平均順位和: \(\bar{Ra}\) = \(8.1\), \(\bar{Rb}\) = \(5\), \(\bar{Rc}\) = \(10.83\)

2.6 検定統計量 H を求める

もし、帰無仮説が正しければ、各水準間で順位和と平均順位はほとんど同じ値になるはずである。
これを前提として、次の数式により検定統計量 H を求める。

\begin{eqnarray*} H = \frac {12}{N(N-1)}*{\sum_{i=1}}^k-{\frac {Ri^2}{ni}-3(N+1)} \end{eqnarray*}

これにより、\(H\) = \(4.35\) となる。
ただし、同順位の組がある場合は、次の式により補正する。

\begin{eqnarray*} c = 1-\frac {\sum_{i=1}^g*(ti^2-ti)}{{N^3-N}} \end{eqnarray*}

\(c\) = \(.996\) となる。

\begin{eqnarray*} H0 = \frac {H}{c} \end{eqnarray*}

\(H0\) = \(4.37\) となる。

2.7 H 検定

自由度は、\(k-1\) = \(2\) となる。\(χ^2\) 分布表によると、自由度2であれば、上側確率 \(5%\) の臨界値は\(5.99\) である。
  
 
以上により、上で求めた補正後の H はこれよりも小さいため、危険率5%で帰無仮説が採択される。すなわち、水準間の差は統計的に有意とはいえない。

3 引用文献

小野寺 孝義. (2015). 心理・教育統計法特論 (放送大学大学院教材), 放送大学教育振興会.
田中 敏, 山際 勇一郎. (1992). ユーザーのための教育・心理統計と実験計画法 - 方法の理解から論文の書き方まで, 教育出版.

著者: Satoshi Takemoto Satoshi Takemoto

Created: 2017-01-26 木 20:36

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