心理統計法-ノンパラメトリック検定（１）

１） 両水準の観測値を一つにまとめる。数値が小さい方から１～Ｎ位までの順位に置き換える。
２） 同値の観測値がある場合、平均順位をあてる。
３） 両群の順位和を求める。
４） 順位和を用いて検定統計量 Ｕ値を求める。
５） 判定する

表２ 観測値を一つにまとめる

観測値	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	3	4	4	4	4	5	5	5
順位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
平均順位	3	3	3	3	3	8	8	8	8	8	12	12	12	15.5	15.5	15.5	15.5	19	19	19

表３ 順位を２水準に分ける

\(Ａ群\)	8	15.5	12	19	19	12	15.5	12	3	15.5
\(Ｂ群\)	8	8	3	3	15.5	3	19	8	3	8

データＡ群の順位和を \(Ra\), Ｂ群の順位和を \(Rb\) として、\(Ra\), \(Rb\) を計算する。

\begin{eqnarray*} Ra = 8+15.5+12+19+19+12+15.5+12+3+15.5 \end{eqnarray*}

\(Ra\) = 131.5
同様に、\(Rb\) = 78.5

\begin{eqnarray*} Ua = nAnB + \frac {nA*(nA+1)}{2} - Ra \end{eqnarray*}

　
\(Ua\) = \(23.5\) となる。
\(Ub\) = \(76.5\) となる。

上述の \(Ua\), \(Ub\) のうち小さい値を検定に用いる。この場合は、\(Ua\) を使う。
また、小標本では Ｕ値の有意水準について数表を参照するが、大標本の場合は帰無仮説のもとで、以下の式を使う。

\begin{eqnarray*} z = \frac {{\frac {Ua-nAnB}{2}}}{\sqrt {\frac {nAnB*(nA+nB+1)}{12}}} \end{eqnarray*}

上の式は、標準正規分布に近似的に従う性質を持つため、この数式を用いて Ｕ値 をｚ値に変換することで有意性を判定できる。
ただし、この例題の様に両群間で同値の観測値がある場合は、次の式のように分母を修正してｚ値を求める。

\begin{eqnarray*} z = \frac {{\frac {Ua-nAnB}{2}}}{\sqrt {\frac {nAnB}{N(N-1)}*{(\frac {N^3-N}{12}}-{\sum_{i=1}^9{\frac {{ti^3-ti}}{12}}}})} \end{eqnarray*}

ここで、\(g\) は同順位の組数、\(ti\) は同順位だった \(i\) 番目の組にいくつの観測値が含まれていたかを表す。
ここでは、１から５すべてに同値の組があったので、\(g\) = \(5\), 同値だった観測値の数はそれぞれ、\(t1\) = 5, \(t2\) = \(5\), \(t3\) = \(3\), \(t4\) = \(4\), \(t5\) = \(3\) となる。この式に数値を代入すると、\(z\) = -2.048 となる。

以上により、両側検定における上側確率 \(p\) = \(.41\) となり、帰無仮説は棄却される。
故に、両水準の差は有意といえる。